경계조건이 결과를 바꾼다
가장 과소평가되는 부분
수치해석을 배울 때 사람들은 대개 방정식과 격자에 관심을 둔다. 어떤 기법을 쓰는지, 얼마나 촘촘히 나누는지.
그런데 실무에서 결과를 가장 많이 바꾸는 것은 그게 아니다. 경계조건이다.
같은 형상, 같은 재료, 같은 격자, 같은 솔버를 쓰고도 경계조건 하나를 다르게 두면 답이 완전히 달라진다. 그리고 그 차이는 격자를 촘촘히 해서 줄일 수 있는 종류의 것이 아니다.
경계조건은 정확도의 문제가 아니라 문제 정의의 문제이기 때문이다.
경계조건이 하는 일
7편에서 “경계조건이 없으면 계산이 시작되지 않는다”고 했다. 왜 그런지 보자.
14편의 계산식을 떠올려 보자. 각 점의 온도는 이웃 넷과 비교해서 정해진다.
그런데 판의 맨 끝에 있는 점은 이웃이 셋뿐이다. 바깥쪽에는 이웃이 없다. 그러면 계산식이 성립하지 않는다.
경계조건은 그 빈 자리를 채우는 규칙이다. “바깥쪽은 200도라고 보라” 또는 “바깥쪽으로 열이 이만큼 빠져나간다고 보라”.
즉 경계조건은 계산 영역 밖의 세계를 요약한 것이다.
여기서 왜 경계조건이 그렇게 중요한지 드러난다. 우리는 프라이팬만 계산하지만, 실제 프라이팬은 불과 공기와 사람 손이 있는 세계 안에 있다. 그 세계 전체를 계산할 수는 없으니, 경계에서 잘라내고 그 밖을 요약한다. 그 요약이 틀리면 안쪽 계산이 아무리 정확해도 답이 틀린다.
세 종류를 다시 보기
9편에서 세 종류만 허용했다고 했다. 각각이 무엇을 뜻하는지 정리하자.
① 고정 온도 — “이 면은 200도다.”
가장 단순하고, 가장 강한 조건이다. 그 면의 온도가 무슨 일이 있어도 200도로 유지된다는 뜻이다.
이건 실제로는 강한 가정이다. 진짜 가스불 위의 팬 바닥은 열을 빼앗기면 온도가 조금 내려간다. 무한한 열원이 아니다. 고정 온도 조건은 열원이 무한히 강하다고 보는 것이다.
② 열유입 — “이 면으로 초당 이만큼의 열이 들어온다.”
열원의 세기를 지정한다. 온도는 계산 결과로 나온다.
물리적으로는 이게 더 현실적인 경우가 많다. 다만 사용자가 “몇 와트”인지 알기 어렵다. 그래서 실제로는 ①을 더 많이 쓴다.
③ 대류 열교환 — “이 면은 25도 공기와 접촉해 식는다.”
가장 많이 쓰이고, 가장 애매한 조건이다.
애매한 이유는 여기에 대류 열전달 계수라는 값이 필요한데, 이 값이 상황에 따라 크게 달라지기 때문이다. 공기가 가만히 있는지 움직이는지, 표면이 위를 향하는지 아래를 향하는지, 온도 차가 얼마인지에 따라 몇 배씩 차이 난다.
그리고 사용자는 이 값을 절대 모른다. 알 이유도 없다.
애매한 값이 결과에 미치는 영향
대류 계수를 예로, 이 값이 결과를 얼마나 바꾸는지 생각해 보자.
계수가 크면 표면이 잘 식는다. 손잡이 표면에서 열이 빨리 빠져나가므로, 손잡이 끝까지 열이 덜 전달된다. 손잡이 끝 온도가 낮게 나온다.
계수가 작으면 반대다. 열이 표면에서 빠지지 못하고 손잡이를 따라 계속 전달된다. 끝 온도가 높게 나온다.
자연 대류의 계수는 대체로 좁은 범위 안에 있지만, 그 범위 안에서도 몇 배 차이가 난다. 그리고 그 차이가 손잡이 끝 온도에서 수 도에서 십여 도의 차이로 나타날 수 있다.
“안전하다”와 “위험하다”를 가르는 크기다.
그래서 어떻게 했나
10편의 원칙이 여기서 실제로 적용된다.
보수적인 기본값을 쓴다. 대류 계수를 정할 때, 범위의 중간이 아니라 낮은 쪽을 기본으로 둔다. 그러면 열이 덜 빠져나가고 온도가 높게 나온다. 안전 쪽으로 기운 답이다.
15편에서 “근사 중 셋이 같은 방향으로 기울어 있다”고 한 것이 이 결정을 포함한다. 의도적으로 그렇게 만든 것이다.
민감도를 표시한다. 이 값이 결과를 크게 바꾸는 경우, ⚠ 표시를 붙인다. 그리고 필요하면 범위로 계산해서 “44~58도”처럼 보여준다.
대안 조건을 제안한다. “표면에 부채질을 하면”, “손잡이를 감싸 쥐면” 같은 상황은 대류 조건이 다르다. 이런 시나리오를 버튼으로 두고 비교할 수 있게 한다.
자주 나오는 실수 세 가지
경계조건에서 실제로 자주 생기는 실패를 정리해 두자. 이건 우리 시스템이 검사해야 할 목록이기도 하다.
① 조건이 겹친다. 같은 면에 고정 온도와 열유입을 동시에 지정하는 경우. 물리적으로 모순이다. 12편의 타당성 검사에서 잡는다.
② 조건이 빠진다. 어떤 면에 아무 조건도 없는 경우. 9편에서 만든 암묵 규칙(지정되지 않은 면은 공기와 열교환)이 이걸 막는다.
③ 대칭을 잘못 쓴다. 계산량을 줄이려고 절반만 계산하고 대칭 조건을 쓰는 경우. 대칭이 아닌 문제에 쓰면 답이 틀린다.
15편에서 2차원 단면을 쓸 때 절단면에 대칭 조건을 붙였다. 그건 근사이고, 실제보다 뜨겁게 나오는 편향을 만든다. 알고 있는 근사와 모르고 쓴 근사는 다르다. 알고 있으면 결과를 그만큼 할인해서 읽을 수 있다.
정리하면
경계조건은 세 가지 성격을 동시에 갖는다.
| 성격 | 의미 |
|---|---|
| 계산의 필수 요소 | 없으면 시작 안 됨 |
| 문제 정의의 일부 | 틀리면 다른 문제를 푼 것 |
| 가장 애매한 부분 | 사용자가 알 수 없는 값들 |
셋이 겹치기 때문에 어렵다. 반드시 필요하고, 결과를 좌우하고, 아무도 정확히 모른다.
그래서 우리 설계에서 경계조건은 특별 취급을 받는다. 기본값을 보수적으로, 민감도를 표시하고, 무엇이 가정되었는지 화면에 명시한다.
이건 정확한 답을 주는 방식이 아니다. 틀릴 수 있음을 감춘 답보다, 어느 방향으로 얼마나 틀릴 수 있는지 아는 답이 낫다는 판단이다.
다음 편에서는 형상이 복잡해질 때 쓰는 다른 계산 기법을 다룬다. FDM의 한계가 어디이고, FEM이 그것을 어떻게 넘는지.
다음 편 예고 — 형상이 복잡해지면 (FEM). 격자를 규칙적으로 자를 수 없는 형상을 다루는 방법, 그리고 그것이 폰에서 가능한지.